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(前回までの話)
すごろくで任意のマスに止まる確率はどの程度なのか。 直感的には、nマス目に止まる確立は、nが十分大きければ、 止まる確率=1/サイコロの出目の期待値(= 1/3.5 = 2/7) に収束すると思われる。 --------------------------------------- で、正確に計算してみました。 数列で考えます。 位置の関係と、サイコロを振る回数の関係が考える時ちょっとややこしい。 nマス目に止まる確率A[n]を考える場合、 その"一回前に居る位置"は n-1 ~ n-6 のどこかになる。 つまりnマス目に止まる場合は、以下のように条件分けできる。 ・n-1のマスに止まって、次に1が出る。 ・n-2のマスに止まって、n-1に止まらない場合で、次に2が出る。 ・n-3のマスに止まって、n-1,n-2に止まらない場合で、次に3が出る。 ・n-4のマスに止まって、n-1,n-2,n-3に止まらない場合で、次に4が出る。 ・n-5のマスに止まって、n-1,n-2,n-3,n-4に止まらない場合で、次に5が出る。 ・n-6のマスに止まって、n-1,n-2,n-3,n-4,n-5に止まらない場合で、次に6が出る。 これを元に、A[n]は以下のように表される。 A[n]=A[n-1]×1/6+A[n-2]×1/6+A[n-3]×1/6+A[n-4]×1/6+A[n-5]×1/6+A[n-6]×1/6 初期条件はスタート地点で、 スタートに地点で止まっている確率はもちろん1なので、 A[0]=1 スタート地点より後ろは存在しないので、便宜上以下を置く。(概念上少しおかしいところもあるけど…) A[-1]=0 A[-2]=0 A[-3]=0 A[-4]=0 A[-5]=0 後はExcelでガリガリ代入。 おお、見事に2/7(=0.285714)に収束している。 それよりも意外なのが、 すごろくでは6マス先に止まる可能性が、約36%と3分の1以上の確率である事、 逆に7マス先に止まる確立は、約25%と4分の1程度である事。 これは何とも意外でした。 (おまけ) 6までの数のサイコロではなく、 1~xの出目ですごろくをやった場合。 やはり、 止まる確率=1/サイコロの出目の期待値 に収束するようです。 そして、 xマス目に極大値、x+1マス目に極小値を持つ性質があるようです。
by t-plain
| 2008-10-12 01:53
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