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~前回のおさらい~
四次元立方体は、x,y,z軸空間に置いた長さが1の立方体を w軸方向に1の長さだけ平行移動したもの。 点の数は16 辺の数は32 面の数は24 立方体の数は8 で"囲まれている"部分が四次元立方体。 ------------------------------------ 「四次元立方体は8個の立方体で囲まれている。」の意味を考える。 立方体で囲まれる、と言うのはどういう意味だろうか。 本題に入る前に、四次元方向(図示されているw軸方向)の意味について触れておく。 まずは二次元と三次元の関係のこんな例から。 テーブル上の二次元の平面(x,y)に点があるとする。 この点が、テーブルと垂直な上方向(z軸方向)に少し動いたとする。 すると、元々のテーブルの上の平面からは、 まるでこの点の存在が消えてしまったように見える。 三次元の空間において、四次元方向(w軸方向)に移動すると何が起こるか。 四次元方向(w軸方向)に移動するという意味を噛み砕いて言ってしまうなら、 三次元に住む私達が認識できない異空間に飛んでしまう事を意味する。 例えば、三次元の(x,y,z)と言う座標系に住む人が、 もし四次元方向にほんの少しでも移動した場合、 元々の(x,y,z)座標系からはすっかり消えてしまう事になる。 これを、移動距離1として(x,y,z,w)の座標表記で書くと、 (x,y,z,0)の空間から(x,y,z,1)の空間に飛んだ事になる。 つまりこれを四次元立方体の話に当てはめると、 四次元立方体は、辺の長さ1の立方体が 異空間にズルズルと長さ1引き込まれた時に出来る軌跡となるわけだ。 さて、 ここで「四次元立方体は8個の立方体で囲まれている。」と言う点に戻る。 前回の図示を用いると、二次元に投影された四次元立方体の中で、 下記の8個の立方体が四次元立方体を囲んでいる事になる。 この8個の立方体で囲まれる内部が四次元立方体。 ①は元々の三次元空間にある、"私達が認識できる"立方体 ②はw軸方向に長さ1平行移動した立方体 ③はxy平面(z=0)の正方形がw軸方向に移動した時に出来る立方体 ④はxy平面(z=1)の正方形がw軸方向に移動した時に出来る立方体 ⑤はyz平面(x=0)の正方形がw軸方向に移動した時に出来る立方体 ⑥はyz平面(x=1)の正方形がw軸方向に移動した時に出来る立方体 ⑦はxz平面(y=0)の正方形がw軸方向に移動した時に出来る立方体 ⑧はxy平面(y=1)の正方形がw軸方向に移動した時に出来る立方体 三次元的な感覚とは思いっきり掛け離れますが、 確かに8個の立方体は出現します。 逆に言うと、8個の立方体を使って囲まないと、 四次元立方体は"閉じた箱"にならないんです。 次回はこれを少し例を出して説明。
by t-plain
| 2008-03-02 17:26
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